Nguyên hàm là một trong những chuyên đề quan trọng của Giải tích 12 và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học. Vì vậy, có công thức nguyên thủy Điều quan trọng cần nhớ là gì? Team Tiểu Học Đông Hòa B sẽ giúp bạn trả lời các câu hỏi và tìm hiểu thêm về bảng công thức nguyên thủy từ cơ bản đến nâng cao và các phương pháp giải toán nguyên hàm thông dụng qua bài viết dưới đây.
>>> Xem thêm: Nguyên hàm Toán 12 – Lý thuyết và Hướng dẫn Giải bài tập
Hàm nguyên thủy là gì?
Trước khi đi sâu vào tìm hiểu các công thức về nguyên hàm, học sinh cần nắm vững khái niệm về nguyên hàm cũng như các tính chất và định lý liên quan.
Định nghĩa nguyên thủy
Cho một hàm f (x) xác định trên K, bây giờ hàm F (x) được gọi là một nguyên hàm của hàm f (x) trên K nếu F ‘(x) = f (x) (với mọi x ∊ K, K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng trên ℝ).
Kí hiệu nguyên thuỷ của hàm f (x) là:
\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)
Định lý nguyên thủy
Ba định lý về nguyên hàm là:
- Định lý 1: Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C, hàm G (x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x).
- Định lý 2: Trên K, nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) thì mọi nguyên hàm của f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, trong đó C là hằng số. không bắt buộc.
- Định lý 3: Trên K, mọi hàm liên tục f (x) đều có nguyên hàm.
Thuộc tính nguyên thủy
Ba thuộc tính cơ bản của nguyên thủy được thể hiện như sau:
\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\
&\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\
&\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) có đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\
&\footnotesize\bull\text{Tích của nguyên hàm với k là hằng số khác 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\
&\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của nguyên hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx
\end{aligned}
Bảng công thức nguyên thủy cơ bản, mở rộng và nâng cao
Mỗi dạng nguyên hàm có một công thức riêng. Các công thức này đã được tổng hợp thành các bảng dưới đây để bạn dễ dàng phân loại, ghi nhớ và vận dụng đúng.
Lý thuyết về Phép biến hình lớp 11
Bảng công thức nguyên thủy cơ bản
Bảng công thức nguyên thủy mở rộng
Bảng công thức nguyên thủy nâng cao
Bảng nguyên hàm của các hàm lượng giác
2 phương pháp phổ biến để giải các bài toán nguyên thủy
Phương pháp biến đổi
Đây là phương pháp được sử dụng nhiều khi giải các nguyên hàm. Vì vậy, các em cần nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm nhanh hơn, chính xác hơn.
Phương pháp chuyển đổi loại 1:
Cho hàm số u = u (x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f (u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K và ∫f (u) du = F (u) + C thì:
f[u(x)]u ‘(x) dx = F[u(x)] + CŨ
Dung dịch:
Đầu tiên, chọn t = φ (x) và phân biệt cả hai vế: dt = φ ‘
Sau đó biến đổi biểu thức thành: f (x) dx = f[φ
Kết quả: I = ∫f (x) dx = ∫g
Phương pháp chuyển loại 2 biến: Khi bài toán cho rằng hàm số f (x) liên tục trên K và x = φ
f (x) dx = f[φ
Dung dịch:
Đầu tiên, chọn x = φ
Thực hiện phép biến đổi: f (x) dx = f[φ
Tính: ∫f (x) dx = ∫g
Phương pháp nguyên thủy từng phần
Phương pháp chung
Định lý: Nếu hai hàm số u (x) và v (x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)
Dung dịch:
Đầu tiên, bạn cần chuyển tích phân đầu tiên sang dạng:
I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo, đặt:
\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}
Tại thời điểm này, bạn sẽ có:
\smallint udv=uv-\smallint vdu
Tùy từng dạng toán cụ thể mà các em vận dụng phương pháp cho phù hợp.
Các dạng nguyên thủy từng phần phổ biến
Hình thức 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Tố Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất
Bài tập về công thức nguyên thủy
Giải bài 1 Trang 126 SGK Toán 12
Chủ đề:
một. Đưa ra định nghĩa nguyên hàm của hàm số f (x) đã cho trên một khoảng.
b. Phương thức nguyên thủy từng phần là gì? Cho ví dụ minh họa cách tính trên.
Hướng dẫn giải bài tập:
một. Xét hàm số y = f (x) xác định trên tập D.
Hàm số Y = F (x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên D khi Y = F (x) thỏa mãn điều kiện F ‘(x) = f (x) ∀ x ∈ D.
b.
Phương thức nguyên thủy từng phần được định nghĩa như sau:
Cho hai hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm liên tục trên D, khi đó ta có công thức:
∫u (x) .v ‘(x) dx = u (x) .v (x) – ∫v (x) .u’ (x) dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv
Lý thuyết về các hàm liên tục | Sách giáo khoa Toán lớp 11
Ví dụ minh họa: Tính nguyên hàm của hàm A = xexdx
Câu trả lời:
\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=e^xdx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=e^x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi đó, } A = \smallint xe^xdx = xe^x - \smallint e^xdx = xe^x - e^x + C
\end{aligned}
Giải bài 2 Trang 126 SGK Toán 12
Chủ đề:
một. Phát biểu định nghĩa của nguyên hàm f (x) trên đoạn [a;b]
b. Tính chất của tích phân là gì? Cho ví dụ cụ thể.
Hướng dẫn giải bài tập:
một. Xét hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên [a;b]
Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F (b) -F (a), ký hiệu:
I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
b. Thuộc tính tích phân:
\begin{aligned}
&\intop^a_bf(x)dx=0\\
&\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\
&\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\
&\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\
&\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx
\end{aligned}
Giải bài 3 Trang 126 SGK Toán 12
Chủ đề:
Tìm nguyên hàm của các hàm sau:
\begin{aligned}
&a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\
&b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\
&c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\
&d. f(x)=(e^x-1)^3
\end{aligned}
Hướng dẫn giải bài tập:
một. Chúng ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1
tôi đoán
\begin{aligned}
\small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\
&\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C
\end{aligned}
b. Chúng ta có:
\begin{aligned}
\small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x
\end{aligned}
Có nguồn gốc từ:
\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C
c. Chúng ta có:
\begin{aligned}
\small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\
&=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x}
\end{aligned}
Có nguồn gốc từ:
\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\
&=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\
&=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\
\end{aligned}
d. Với bài tập này, bạn có thể làm theo cách giải thông thường, đó là mở rộng hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng các nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc bạn cũng có thể sử dụng cách đặt ẩn ẩn phụ để giải quyết nguyên thủy như sau:
Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx
Chúng ta có:
\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\
&=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\
&=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\
&=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\
&(Với\ C' = C-1)
\end{aligned}
Giải bài 4 Trang 126 SGK Toán 12
Chủ đề:
Tính một số nguyên hàm sau:
\begin{aligned}
&a)\int(2-x).sinxdx\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\
&f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx}
\end{aligned}
Hướng dẫn giải bài tập:
\begin{aligned}
&\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\
&\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\
&\int(2-x)sinxdx\\
&=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\
&=(x-2)cosx-sinx +C\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\
&=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\
&=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\
&c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\
&=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\
&=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\
&=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\
&=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\
&e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\
&=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\
&=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\
&g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\
&=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\
&=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C
\end{aligned}
Trường Trung học Phổ thông Năng khiếu Khoa học số 4
Chủ đề:
Cho các số nguyên a và b thỏa mãn
\begin{aligned}
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +\frac32 + lnb
\end{aligned}
Hãy tính tổng P = a + b
Hướng dẫn giải bài tập:
\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=lnx
\\
dv=(2x+1)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=\frac1xdx
\\
v=x^2 +x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi đó, }
\\
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx
\\
& \small = (x^2 + x)lnx \left. \right|^2_1 - \intop_2^1 (x^2 + x).\frac1xdx
\\
& \small = 6ln2 - \intop_2^1 (x + 1)dx
\\
& \small = 6ln2 - \left.\left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|^2_1
\\
& \small = 6ln2 - (4 - \frac32)
\\
& \small = -4 + \frac32 + ln64
\\
& \small \text{Vậy a = -4 và b = 64. Lúc đó. P = a + b = 60.}
\end{aligned}
Đề thi thử Sở GD Bình Thuận
Chủ đề:
Cho hàm F (x) là nguyên hàm của hàm f (x). Khi bạn biết F (3) = 3, hãy tích phân:
K = \intop_0^3 xf(x)dx
Hướng dẫn giải bài tập:
Đối với dạng bài nâng cao này sẽ kết hợp 2 phương pháp là tích phân ngầm (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.
\begin{aligned}
& \small \text{Đặt n = x + 1, khi đó: }
\\
& \small K = \intop_0^3 xf(x)dx
\\
& \small = \intop_{-1}^2 F(x+1)d(x+1)
\\
& \small = \intop_3^0 F(n)dn
\\
& \small =1
\\
& \small \text{Kế tiếp, ta đặt }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=f(x)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=F(x)
\end{cases}
\\
& \small \text{Lúc đó: }
\\
& \small K = \intop_0^1xf(x)dx = \left.xF(x)\right|_0^3 - \intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8
\end{aligned}
Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Tiểu Học Đông Hòa B
Giáo dục Tiểu Học Đông Hòa B là Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất tại Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Tiểu Học Đông Hòa B sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.
Nguyên hàm Ln x là gì? Tính toán nguyên hàm Ln, Cách giải bài tập
Tại Tiểu Học Đông Hòa B, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Giáo dục Tiểu Học Đông Hòa B cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.
Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Tiểu Học Đông Hòa B luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
Khi trở thành học viên của Tiểu Học Đông Hòa B, bạn cũng sẽ nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
Tiểu Học Đông Hòa B cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, Tiểu Học Đông Hòa B sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại Tiểu Học Đông Hòa B ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Qua bài viết trên, Team Tiểu Học Đông Hòa B đã chia sẻ đến các bạn lý thuyết cơ bản về nguyên hàm, nguyên hàm cơ bản và mở rộng cùng các khái niệm cơ bản khác. công thức nguyên thủy cần phải nắm vững. Hy vọng bài viết sẽ giúp bạn ghi nhớ những công thức nguyên thủy những điều này một cách hiệu quả và giúp áp dụng chúng để giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng. Hy vọng các bạn có một buổi học tập vui vẻ!
Nhớ để nguồn: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết